Dasar Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem persamaan linier merupakan sekumpulan pesamaan linier dengan sejumlah hingga peubah bebas yang saling terkait.

Contoh :

Sistem Persamaan Linier

2 x + y – z = 0

q + 5 p + 3 z = 5

Bukan Sistem Persamaan Linier

x + y = 7

v + 3p = 0

Persamaan tersebut bukan Sistem Persamaan Linier karena tidak ada peubah bebas yang terkait.

Secara intuitif, Persamaan Linier adalah :

Persamaan dimana peubahnya tidak memuat Exponensial, trigonometri (seperti sin,cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.

Bentuk umum SistemPersamaan Linier :

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1. . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b m

dimana :

a11, a12 , a1n Є R    ; koofisien

x1, x2, xn                   ; peubah

b1, b2, bm       Є R    ; konstanta

contoh :

2 x + y + 3 z = 0

y = x2

Pada sistem persamaan di atas peubah x mengandung pangkat, jadi sistem di atas bukan merupakan Sistem Persamaan Linier.

Sistem Persamaan Linier dapat ditulis dengan perkalian matrik sebagai berikut :

1

atau

A X = B

dimana :

A dinamakan matriks koefisien

X dinamakan matriks peubah

B dinamakan matriks konstanta

Contoh :

Misalkan, berikut merupakan sistem persamaan linier, yaitu :

2 x – y + 3 z = 0

4 p + 2 q – z = 2

maka sistem persamaan linier dalam bentuk perkalian matriks berikut:

2

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu:

(1). Metode Substitusi

(2). Metode Eliminasi

(3). Metode Determinan.

  • Metode Substitusi

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan x+4y=23 !

Jawab:

Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = … atau x = …. Misal persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.

x = 23-4y Þ 2x + 3y = 21

2(23-4y) + 3y = 21

46 – 8y + 3y = 21

46 – 5y = 21

25 = 5y

y = 5

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan.

y = 5 Þ 2x + 3y = 21

2x + 3(5) = 21

2x + 15 = 21

2x = 21 – 15

x = 6/2

x = 3

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)

  • Metode Eliminasi

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 !

Jawab:

Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y

3

Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan.

x = 3 Þ 3(3) – 2y = 7

-2y = 7 – 9

2y = 2

y = 1

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

  • Metode Determinan

ax + by = c

dx + ey = f

4

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akan diselesaikan dengan cara determinan:

5

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

Daftar Pustaka

http://gilang07.files.wordpress.com/2010/04/slide-1-aljabar-linear.ppt

http://www.ittelkom.ac.id/library/e-book/261206014041.pdf

http://hariswibi.byethost13.com/matematikaekonomi/SISTEMPERSAMAANLINIER.pdf

§SPL 2 persamaan 2 variabel:
§
§Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.